تعریف ساده و کلی **اعداد گنگ (Irrational Numbers)** اعدادی **حقیقی** هستند که **نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح (کسری ساده) نوشت.** به بیان دیگر، اگر یک عدد نتواند به شکل `a/b` (که در آن `a` و `b` اعداد صحیح باشند و `b 0`) نمایش داده شود، آن عدد گنگ است. --- ### ویژگی‌های کلیدی اعداد گنگ 1. **نمایش اعشاری نامتناهی و غیرمتناوب:** وقتی یک عدد گنگ را به شکل اعشاری می‌نویسیم، ارقام اعشاری آن **هرگز تمام نمی‌شوند** و **هیگز تکرار نمی‌شوند** (یاهمان الگوی تکراری ندارند). * **مثال:** `...1.4142135623730950` (جذر ۲) * **مثال:** `...3.141592653589793` (عدد پی) 2. **عدم توانایی نمایش به صورت کسر ساده:** این ویژگی اصلی آن‌هاست. شما هرگز نمی‌توانید دو عدد صحیح مانند ۲۲ و ۷ پیدا کنید که دقیقاً برابر با پی (`π`) باشد. `22/7` فقط یک **تقریب** از پی است، نه خود پی. --- ### چند مثال معروف از اعداد گنگ 1. **عدد پی (`π`):** نسبت محیط دایره به قطر آن. این عدد احتمالاً مشهورترین عدد گنگ است. `π 3.1415926535...` 2. **عدد نپر (`e`):** که به آن ثابت اویلر نیز می‌گویند و پایه لگاریتم طبیعی است. این عدد در محاسبات رشد و تحلیل ریاضی بسیار مهم است. `e 2.7182818284...` 3. **ریشه دوم اعداد اول:** ریشه دوم (جذر) هر عدد اول یک عدد گنگ است. * `2 1.414213562...` * `3 1.732050807...` * `5 2.236067977...` 4. **بسیاری از لگاریتم‌ها:** مانند `log3` یا `log5`. 5. **بعضی از اعداد در مثلثات:** مانند `sin(1°)`، `cos(20°)` و غیره (البته نه همه آن‌ها). --- ### یک مثال برای درک بهتر: چرا `۲` گنگ است؟ فرض کنیم `۲` گنگ نباشد و بتوان آن را به صورت یک کسر ساده نوشت: `2 = a/b` در این فرض: * `a` و `b` اعداد صحیح هستند. * `a/b` یک کسر ساده‌شده است (یعنی بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک `a` و `b` برابر با ۱ است). اگر دو طرف تساوی را به توان ۲ برسانیم: `2 = a² / b²` که معادل است با `2b² = a²`. این معادله نشان می‌دهد که `a²` یک عدد زوج است (چون مضربی از ۲ است). اگر `a²` زوج باشد، خود `a` نیز باید زوج باشد

اعداد گنگ چه اعدادی هستند,ریاضی نهم,کلاس نهم